Question

【题目】
（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．
图1
求证：BD=AB+AC
（2）对于任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：在AE于上截取AF=AB，连接DF

∵AD是∠BAC的外角平分线
∴∠DAF=∠DAB
在△ADF和△ADB中

∴△ADF≌△ADB
BD=DF；∠DFA=∠DBA=90°
又∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=∠C=45°
∴FAD=135°
∴∵FDC=45°=∠C
∴DF=FC
∴BD=CF=AC+AF
BD=AB+AC

（2）解：DB=AB+AC理由如下：
在AE上截取AF=AB，连接DF

∵AD是∠BAC的外角平分线
∴∠FAD=∠BAD
在△FAD和△BAD中，

∴△FAD≌△BAD
∠ADF=∠ADB；BD=DF
∠AFD+∠EFD=∠ABD+∠ABC=180°
∴∠EFD=∠ABC
∵∠ABC=2∠C
∴∠EFD=2∠C
∵∠EFD=∠FDC+∠C
∴DF=CF
BD=CF=AF+AC
∴DB=AB+AC


【解析】(1)做辅助线，由外角平分线易得△ADF≌△ADB，再由等腰直角三角形性质易得DF=FC=BD，最终得证DB=AB+AC；
（2）类比（1）中的方法，在证DF=CF时利用所给条件∠ABC=2∠C，可证，最终得证DB=AB+AC