Question

【题目】已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OC、OA、AC．
（1）如图①，求∠OCA的度数；
（2）如图②，连接OB、OB与AC相交于点E，若∠COB=90°，OC=2 ，求BC的长和阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABC=2∠D，

∴∠D+2∠D=180°，

∴∠D=60°，

∴∠AOC=2∠D=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°

（2）解：∵∠COB=3∠AOB，

∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，

∴∠AOB=30°，

∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，

在Rt△OCE中，OC=2 ，

∴OE=OCtan∠OCE=2 tan30°=2 × =2，

∴S△OEC= OEOC= ×2×2 =2 ，

∴S扇形OBC= =3π，

∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2

【解析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；（2）由∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
【考点精析】掌握圆内接四边形的性质和扇形面积计算公式是解答本题的根本，需要知道把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．