Question

【题目】如图，点D、E、F分别在正三角形ABC的三边上，且△DEF也是正三角形，若△ABC的边长为a，△DEF的边长为b．则△AEF的内切圆半径为 ．

Answer 1

【答案】 （a﹣b）
【解析】解：如图，由于△ABC，△DEF都为正三角形， ∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（AAS）；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M是△AEF的内心，MH⊥AE于H，
则AH= （AE+AF﹣EF）= （a﹣b）；
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AHtan30°= （a﹣b） = （a﹣b）．
所以答案是： （a﹣b）．

【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的内切圆与内心的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能正确解答此题．