Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OD、BD，OD||BC,DE⊥BC，所以DE⊥OD.

(2)利用30°的特殊三角形求出DE长，再利用勾股定理得到OE长.

试题解析：

（1）证明：连接OD、BD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∵AB=BC，

∴D为AC中点，

∵OA=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∵OD为半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵CD=，∠ACB=30°，

∴BC=2，

∴BD=BC=1，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C=30°，

∵BD=1，

∴AB=2BD=2，

∴OD=1，

在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，

1×=2DE，

DE=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE==．