Question

【题目】如图1，对于平面直角坐标系x O y中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”.

(1) △PAQ是__________三角形;

(2)已知点A的坐标为（0, 0），点P关于点A的“垂链点”为点Q

①若点P的坐标为（2, 0），则点Q的坐标为___________；

②若点Q的坐标为（-2, 1），则点P的坐标为___________；

(3)如图2, 已知点D的坐标为（3, 0），点C在直线y=2x上,若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标.

Answer 1

【答案】（1）等腰直角；（2）①(0, -2)；②(-1, -2)；（3）点C坐标（3,6）或（, -3）.

【解析】

（1）根据旋转的性质，得到AP=AQ，∠PAQ=90°，即可得到答案；

（2）根据旋转的性质和“垂链点”的定义，分别求出点Q和点P的坐标即可；

（3）①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，则CD⊥x轴，即可求解；②当点C在第三象限时，证明△CDH≌△DOC1（AAS），得到CH=OD=3，即可求出点C的坐标.

解：（1）由旋转的性质，可知，AP=AQ，∠PAQ=90°，

∴△PAQ是等腰直角三角形；

故答案为：等腰直角；

（2）∵点A为（0，0），即为原点，

根据旋转的性质和“垂链点”的定义，得

①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为（）；

②点Q的坐标为（，1），则点P的坐标为（）；

故答案为：①（）；②（）；

（3）根据题意，点D为（3，0）；

①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，

∴CD⊥x轴，

∴点C的横坐标为3，

∵点C在直线y=2x上，则y=6，

∴点C的坐标为：（3，6）；

②当点C在第三象限时，则“垂链点”C1在y轴上，

过点C作CH⊥x轴，交点为H，如图：

∵CH⊥x轴，∠CDC1=90°，

∴∠CHD=∠DOC1=90°，

∴∠CDH+∠HDC1=∠CDC1=90°，∠HDC1+∠OC1D=90°，

∴∠CDH=∠OC1D，

∵CD=C1D，

∴△CDH≌△DOC1（AAS），

∴CH=OD=3，

∴点C的纵坐标为，

把代入y=2x，解得：，

∴点C的坐标为：（，）；

综合上述，点C的坐标为：（3，6）或（，）.