Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．

（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为　 　度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为　 　；

（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

（3）PA、PB、PC满足的等量关系为　 　．

Answer 1

【答案】（1）150，PA2+PC2=PB2；（2）3PA2+PC2=PB2；（3）4PA2sin2+PC2=PB2

【解析】试题分析：（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′=PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．

试题解析：

（1）∵△ABP≌△ACP′，

∴AP=AP′，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，

∴△PAP′为等边三角形，

∴∠APP′=60°，

∵∠PAC+∠PCA==30°，

∴∠APC=150°，

∴∠P′PC=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∴PA2+PC2=PB2，

故答案为：150，PA2+PC2=PB2；

（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，

∴∠APP′=30°，

∵∵∠PAC+∠PCA==60°，

∴∠APC=120°，

∴∠P′PC=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∵∠APP′=30°，

∴PD=PA，

∴PP′=PA，

∴3PA2+PC2=PB2；

（3）如图2，与（2）的方法类似，

作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，

∴∠APP′=90°﹣，

∵∵∠PAC+∠PCA=，

∴∠APC=180°﹣，

∴∠P′PC=（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∵∠APP′=90°﹣，

∴PD=PAcos（90°﹣）=PAsin，

∴PP′=2PAsin，

∴4PA2sin2+PC2=PB2，

故答案为：4PA2sin2+PC2=PBspan>2．