Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线，点E，F分别是边AC， BC上的动点，AC=4，设AE=x，BF=y．

（1）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；

（2）当DE⊥DF时，如图2，试探索x、y之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）S四边形CEDF= 5；（2）x+y=4．

【解析】

（1）在图1中，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，由∠ACB=90°、AC=BC、CD是∠ACB的角平分线可得出∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，进而可得出AD=CD=BD，根据等腰直角三角形的性质可求出DG=DH=2，利用三角形的面积结合S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF、x+y=3，即可求出四边形CEDF的面积；

（2）由DE⊥DF、CD⊥AB可得出∠ADE=∠CDF，结合AD=CD、∠A=∠DCF=45°，即可证出△ADE≌△CDF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AE=CF，进而可得出AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．

（1）在图1中，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H．

∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线，

∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，

∴AD=CD=BD．

∵在等腰直角三角形ACD中，DG⊥AC，∠A=45°，

∴DG=AG=AC=2，

同理：DH=2．

∵S△CDE=CEDG=4-x，S△CDF=CFDH=4-y，

∴S四边形CEDF=S△CDE+S△CDF=（4-x）+（4-y）=8-（x+y）=5；

（2）当DE⊥DF时，∠EDF=90°．

∵CD⊥AB，

∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△ADE与△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∴AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．