Question

【题目】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在数轴上若点A、B分别表示有理数a、b ，在数轴上A、B两点之间的距离AB=| a-b | ．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣3和2的两点之间的距离是_____；数轴上表示 x 和 -3 两点之间的距离是_____；

（2）若a表示一个有理数，则|a+4|+|a﹣2|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）当a =_____时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣2|的值最小，最小值是_____．

Answer 1

【答案】(1)5， ；(2) 有，最小值是6； (3) 1， 6

【解析】

（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．

（2）代数式|a+4|+|a﹣2|表示数轴上一点到4、-2两点的距离的和，根据两点之间线段最短，进而得出答案．

（3）依据绝对值的几何意义回答即可．

解：（1）数轴上表示-3和2的两点之间的距离是|-3-2|=5，数轴上表示x和-3的两点之间的距离是|x-（-3）|=．

（2）代数式|a+4|+|a﹣2|表示数轴上一点a到-4和2两点的距离和，根据两点之间线段最短可知，有最小值为：2-（-4）=6.

（3）①当a≤-4时，原式=-a-4-a+1-a+2 =-3a-1，a=-4时，最小值为11；

②当-4＜a≤1时，原式=a+4-a+1-a+2=-a+7，a=1时，最小值为6；

③当1＜a≤2时，原式=a+4+a-1-a+2=a+5，a=1时，最小值为6；

④当a＞2时，原式=a+4+a-1+a-2=3a+1，a=2时，最小值为7；

综上，当a =1时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣2|的值最小，最小值是6．