Question

【题目】如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF=9，cos∠BFA=，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=6．

【解析】分析：（1）连接BO，根据三角形的内角和定理可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；

（2）根据圆周角定理，易证△AFB∽△CFE，结合相似比，即可得出EF的长；

详解：（1）证明：连接BO，

∵AB=AD

∴∠D=∠ABD

∵AB=AO

∴∠ABO=∠AOB

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°

∴∠OBD=90°，即BD⊥BO

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：连接CE，

∵AC是直径，

∴∠ABC=∠CEA=90°，

又∵∠AFB=∠CFE，

∴△AFB∽△CFE，

∴，又CF=9，cos∠BFA=，

∴EF=×9=6．