Question

【题目】如图，已知E、F分别为平行四边形ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，

求证：
（1）EM=FN；
（2）EF与MN互相平分．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAM=∠FCN，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，

在△AEM和△CFN中， ，

∴△AEM≌△CFN（AAS），

∴EM=FN

（2）证明：连接EN、FM，如图所示：

∵EM⊥AC，FN⊥AC，

∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，

∴EM∥FN，

又∵由（1）得EM=FN，

∴四边形EMFN是平行四边形，

∴EF与MN互相平分．

【解析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，，进而得出∠EAM=∠FCN，根据等式的性质及垂直的定义知AE=CF，∠AME=∠CNF=90°，用AAS判断出△AEM≌△CFN，根据三角形全等的性质得出结论；
（2）连接EN、FM根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出EM∥FN，又EM=FN，利用平行四边形的判定方法判断出四边形EMFN是平行四边形，根据平行四边形的性质得出结论。