Question

【题目】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；

（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②BE2+CF2=EF2．证明见解析；（2）EF= EB+CF，证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）①如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，根据条件证明△DCG≌△DBE，得DG=DE，CG=BE，易证FD垂直平分线段EG，则FG=FE，把问题转化到△CFG中，运用三边关系比较大小；

②结论：BE2+CF2=EF2．若∠A=90°，则∠B+∠C=90°，可证∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理探索线段BE、CF、EF之间的数量关系；

（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．延长AB到M，使BM=CF，根据条件证明△BDM≌△CDF，则DM=DF，再证明△DEM≌△DEF，从而得EF=EM=EB+BM=EB+CF．

（1）①证明：如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，

∵在△DCG与△DBE中，

，

∴△DCG≌△DBE（SAS），

∴DG=DE，CG=BE，

又∵DE⊥DF，

∴FD垂直平分线段EG，

∴FG=FE，

在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；

②结论：BE2+CF2=EF2．

理由：∵∠A=90°，

∴∠B+∠ACD=90°，

由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，

∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2+CF2=FG2，

即BE2+CF2=EF2；

（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．

理由：延长AB到M，使BM=CF，

∵∠ABD+∠C=180°，又∠ABD+∠MBD=180°，

∴∠MBD=∠C，而BD=CD，

∴△BDM≌△CDF，

∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，

∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB﹣∠EDF=120°﹣60°=60°=∠EDF，

∴△DEM≌△DEF，

∴EF=EM=EB+BM=EB+CF．