Question

【题目】已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）当α=60°时（如图1）， ①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD= AE；
（2）当α=90°时（如图2），求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①判断：△ABC是等边三角形．

理由：∵∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等边三角形

②证明：同理△EBD也是等边三角形

连接DC，

则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°﹣∠EBC=∠CBD

∴△ABE≌△CBD

∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°

∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣60°=30°

在Rt△EDC中 ，

∴

（2）解：连接DC，

∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°

∴△ABC∽△EBD

∴

又∵∠ABE=90°﹣∠EBC=∠CBD

∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，

∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣（90°﹣∠BDE）=60°

设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=

在Rt△EDC中CD=

∴ ，即

【解析】①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．