Question

【题目】新知：对角线垂直的四边形两组对边的平方和相等

感知与认证：如图1，2，3中，四边形ABCD中于O，如图1，AC与BD相互平分，如图2，AC平分BD,结论显然成立.

认知证明：（1）请你证明如图3中有成立。

发现应用：（2）如图4，若AF,BE是三角形ABC的中线，垂足为P

已知：,,求AB的长

拓展应用：（3）如图5，在平行四边形ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，,，.求AF的长.

Answer 1

【答案】认识证明：（1）见解析；发现应用：（2）AB=4；拓展应用：（3）.

【解析】

认识证明：(1)利用勾股定理，分别表示AD2+BC2和AD2+BC2即可证明；发现应用：（2）连接EF,根据中位线的定理可得,根据中线的定理可得，结合对角线垂直的四边形两组对边的平方和相等，列出等式，代入值求解即可；拓展应用：（3）连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P.连接PH.可证明EP，AH分别是△AFE的中线，BE⊥AC，结合（2）可求得AF.

认识证明：（1）如下图：

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2.

发现应用：（2）如下图，连接EF

∵AF,BE是三角形ABC的中线

∵

∴

即

解得EF=2，AB=2EF=4.

拓展应用：（3）如图，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P.连接PH.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=，

∴∠EAH=∠FCH.

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∵AE∥BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴EF=AB=3，AP=PF.

∵在△AEH和△CFH中，

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH=，

∴EP，AH分别是△AFE的中线.

∴

∵点E、G分别是AD，CD的中点，

∴EG∥AC.

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC.

∴

即

解得:,故