Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），

∴OC=3，

∵OC=3OB，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），

把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得 ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），

∴AF∥x轴，

∴F（﹣1，﹣3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°，

设D（0，m），则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°，

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±1，

∴D1（0，1），D2（0，﹣1）

（3）

解：设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a﹣1|=3，

∴a=3或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，

则N在x轴上，M与C重合，

∴M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

【解析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．