Question

【题目】（1）引入：

如图1,直线AB为⊙O的弦,OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC,直线BC是否与⊙O相切,为什么？

（2）引申：

如图2，记（1）中⊙O的切线为直线l,在（1）的条件下,将切线l向下平移,设平移后的直线l与OB的延长线相交于点B′,与AB的延长线相交于点E,与OP的延长线相交于点C′,找出图2中与C′P相等的线段，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）相切，（2）C′P=C′E.

【解析】试题分析：（1）由OC⊥OA，易得∠APO+∠OAB=90°，然后由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO，∠CBP=∠CPB，等量代换可得∠CBP+∠OBA=90°，即∠OBC-90°，由切线的判定可得出结论；

（2）由（1）可得∠OAB+∠C′PE=90°，等量代换可得∠ABO+∠C′PE=90°，由∠EBB′+∠BEB′=90°，∠EBB′=∠ABO，易得∠C′PE=∠BEB′，得出结论.

试题解析：（1）相切，

∵OC⊥OA，

∴∠AOC=90°，

∴∠APO+∠OAB=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠ABO，

∵PC=PB，

∴∠CBP=∠CPB，

∵∠APO=∠CPB，

∴∠CBP+∠OBA=90°，

即∠OBC=90°，

∴OB⊥BC

∵OB为半径，

∴BC与⊙O相切；

（2）C′P=C′E，

∵∠OB′C′=90°，∠APO+∠OAB=90°，且∠APO=∠C′PE，

∴∠OAB+∠C′PE=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠ABO，

∴∠ABO+∠C′PE=90°，

∵∠EBB′+∠BEB′=90°，且∠EBB′=∠ABO，

∴∠C′PE=∠BEB′，

∴C′P=C′E．