Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点．

（1）求证：四边形AECD为平行四边形；

（2）在CD边上取一点F，联结AF、 AC、 EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．

求证：△AEC∽△ADF；

（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求： 的比值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）．

【解析】试题分析：（1）由E为BC中点，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到AD=CE，再由ADCE，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由四边形AECD为平行四边形，得到对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（3）AD=BE=CE=a,由∠ECA=得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，

Rt△ABE中,根据勾股定理表示出AE，由△AEC∽△ADF得比例，表示出DF．由CD-DF表示出CF，再由AE与DC平行得比例，即可求出所求式子之比．

试题解析：

(1)∵BC=2AD，点E为BC中点，

∴BC=2CE，

∴AD=CE，

∵ADCE，

∴四边形AECD为平行四边形；

(2)∵四边形AECD为平行四边形，

∴∠D=∠AEC，

∵∠EAF=∠CAD，

∴∠EAC=∠DAF，

∴△AEC∽△ADF，

(3)设AD=BE=CE=a,由∠ECA=得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，

∴在Rt△ABE中,根据勾股定理得：

∵△AEC∽△ADF，

∴，即，

∴，

∴．

∵AE∥DC,

∴＝．