Question

【题目】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．

（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：AC=4，AD=3，⊙O的半径长为1．

（如图1，连接AO、DO．

设⊙O的半径为r．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= =4，

则⊙O的半径r= （AC+BC﹣AB）= ×（4+3﹣5）=1；

∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，OF=OE，

∴四边形CEOF是正方形，

∴CF=OF=1；

又∵AD、AF是⊙O的切线，

∴AF=AD；

∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，即AD=3）；

（2）

解：①如图1，若点P在线段AC上时．

在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，

∵∠C=90°，PH⊥AB，

∴∠C=∠PHA=90°，

∵∠A=∠A，

∴△AHP∽△ACB，

∴ ，

即 ，

∴y=﹣ x+4，即y与x的函数关系式是y=﹣ x+4（0≤x≤2.4）；

②同理，当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，

则 ，

即 ，

∴y= x﹣4，即y与x的函数关系式是y= x﹣4（x＞2.4）；

（3）

解：①当点P在线段AC上时，如图2，P′H′与⊙O相切于点M．

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，

∴四边形OMH′D是正方形，

∴MH′=OM=1；

由（1）知，四边形CFOE是正方形，

CF=OF=1，

∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；

又由（2）知，y=﹣ x+4，

∴y=﹣ y+4，

解得y= ．

②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1．

【解析】（1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r= （AC+BC﹣AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；（2）分类讨论：①当点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式；②当点P在线段AC的延长线上时，同理，利用相似三角形的性质求得y关于x的函数关系式；（3）根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值．