Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，B(b，0)，且b＜0，C，D分别是OA，AB的中点，△AOB的外角∠DBF的平分线BE与CD的延长线交于点E.

(1)求证：∠DAO＝∠DOA；

(2)①若b＝－8，求CE的长；

②若CE＝＋1，则b＝________；

(3)是否存在这样的b值，使得四边形OBED为平行四边形？若存在，请求出此时四边形OBED对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) ①9；②－2；(3)见解析.

【解析】(1)由C，D分别为AO，AB的中点，得到CD∥OB．又由OB⊥AO，得到CD垂直平分AO，由垂直平分线的性质即可得到结论．

(2)①由三角形中位线定理得到CD的长，由角平分线的定义和平行线的性质得到∠DEB＝∠DBE，从而得到ED＝BD＝5，即可得到结论．

②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，列方程求解即可得到结论．

(3)由四边形OBED是平行四边形，得OB＝ED．由ED＝BD＝AB，得到AB＝－2b，于是有(－b)2＋62＝(－2b)2，解方程得到b的值，进而得到AB的长．设平行四边形OBED的对角线交点为M，作MH⊥OB于点H，则BM＝BD＝AB．由OD＝DB＝OB，得到∠DBO＝60°，∠BMH＝30°，从而可得到BH，MH， OH，即可得到结论．

(1)∵C，D分别为AO，AB的中点，∴CD∥OB．

又∵OB⊥AO，∴CD⊥AC，∴CD垂直平分AO，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA．

(2)①∵b＝－8，∴OB＝8，∴CD＝OB＝4．易得∠DEB＝∠DBE，∴ED＝BD＝AB＝＝5，∴CE＝CD＋ED＝4＋5＝9．

②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，∴，解得：b=－2．故答案为：－2．

(3)存在．理由如下：

如图，∵四边形OBED是平行四边形，∴OB＝ED．

∵ED＝BD＝AB，∴OB＝AB．

∵OB＝－b，∴AB＝－2b，∴(－b)2＋62＝(－2b)2，解得：b＝，∴AB＝．设平行四边形OBED的对角线交点为M，作MH⊥OB于点H，则BM＝BD＝AB＝×＝．

∵OD＝AD，∴OD＝DB＝OB，∴∠DBO＝60°，∴∠BMH＝30°，∴BH＝，MH＝，∴OH＝=，∴M（，）．