Question

【题目】半圆O的直径AB=9，两弦AC、BD相交于点E，弦CD= ，且BD=7，则DE=

Answer 1

【答案】3
【解析】根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=7-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．

∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，

∴△AEB∽△DEC；

∴ ；

设BE=x，则DE=7-x，EC= x，AE= （7-x）；

连接BC，则∠ACB=90°；

Rt△BCE中，BE=x，EC= x，则BC= x；

在Rt△ABC中，AC=AE+EC= - x，BC= x；

由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，

即：92=（ - x）2+（ x）2，

整理，得x2-14x+31=0，

解得：x1=7+3 （不合题意舍去），x2=7-3

则DE=7-x=3．

【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．