Question

【题目】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C的切线垂直,垂足为 D，直线 DC 与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB 于点F，连接BE．

求证：(1)AC 平分∠DAB；

(2)△PCF 是等腰三角形．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：(1) AB 是⊙O 的直径，可得OC⊥PD，又AD⊥PD，得出OC∥AD，根据平行线的性质得到∠ACO＝∠DAC，又因AO=OC,得∠ACO＝∠CAO，所以AC 平分∠DAB；（2）根据弦切角定理得∠CAO＝∠PCB，又因弦CE 平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF，所以根据外角的性质得∠PFC＝∠CAO+∠ACF，∠PCF=∠PCB+∠BCF，所以∠PFC＝∠PCF. 故△PCF 是等腰三角形．

证明：（1）∵PD 切⊙O 于点C，∴OC⊥PD，

又AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC，

又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC 平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，

又AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB，又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB，

∵CE 平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF,

∴∠PFC＝∠PCF，∴△PCF 是等腰三角形．