Question

【题目】如图，直线AB：y=kx+b交抛物线y=于点A、B（A在B点左侧），过点B的直线BD与抛物线只有唯一公共点，且与y轴负半轴交于点D．

（1）若k=，b=2，求点A、B两点坐标；

（2）AB交y轴于点C，若BC=CD，OC=CE，点E在y轴正半轴上，EF∥x轴，交抛物线于点F，求EF的长；

（3）在（1）的条件下，P为射线BD上一动点，PN∥y轴交抛物线于点N，交直线于点Q，PM∥AN交直线于点M，求MQ的长．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，1），B（4，4）；（2）2 ；（3）3．

【解析】

（1）先表示出直线AB解析式，联立抛物线解析式，建立方程组即可求出点A，B坐标；

（2）设出直线BD解析式，联立抛物线解析式，建立方程，利用判别式为0，得出c=-a2，B（2a，a2），表示出C的坐标，利用BC=CD建立方程求出b=1，进而求出E，F的坐标，即可得出结论．

（3）先求出直线BD解析式，利用有唯一交点，求出直线BD解析式，设出点P坐标，进而表示出Q，N坐标，进而求出直线AN解析式，利用平行求出直线PM解析式，即可得出点M坐标，最后用两点间距离公式即可得出结论．

解：（1）∵k=，b=2，

∴直线AB：y=x+2①，

∵抛物线②，

联立①②解得，或，

∴A（﹣2，1），B（4，4）；

（2）设直线BD的解析式为y=ax+c③，

∵抛物线④，

联立③④得，x2﹣4ax﹣4c=0，

∵直线BD与抛物线只有唯一公共点，

∴△=16a2+16c=0，

∴c=﹣a2，

∴直线BD的解析式为y=ax﹣a2，

∴B（2a，a2），D（0，﹣a2）

∵直线AB：y=kx+b，

∴C（0，b），

∴CD2=（b+a2）2，BC2=4a2+（a2﹣b）2，

∵BC=CD，

∴（b+a2）2=4a2+（a2﹣b）2，

∴b=1，

∴OC=1，

∵OC=CE，

∴CE=1，

∴OE=2，

令y=2，则有x2=2，

∴x=±2，

∴EF=2；

（3）由（1）知，直线AB：y=x+2，A（﹣2，1），B（4，4），

∴设直线BD的解析式为y=k'（x﹣4）+4⑤，

∵抛物线⑥，

联立⑤⑥得，x2﹣4k'x+16k'﹣16=0，

∵直线BD与抛物线只有唯一公共点，

∴△=16k'2﹣4（16k'﹣16）=0，

∴k'=2，

∴直线BD的解析式为y=2（x﹣4）+4=2x﹣4，

设P（m，2m﹣4），

∴Q（m，m+2），N（m， m2），

∵A（﹣2，1），

∴直线AN的解析式为y=x+m，

∵PM∥AN，P（m，2m﹣4），

∴直线PM的解析式为y=x+（m﹣2）（8﹣m）⑦，

∵直线AB：y=x+2⑧，

联立⑦⑧解得，M（m﹣6，（m﹣2）），

∵Q（m， m+2），

∴MQ2=（m﹣6﹣m）2+[（m﹣2）﹣m+2]2=36+9=45，

∴MQ=3．