Question

【题目】如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．

（1）求证：AE=AF；

（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易证△BAD∽△DAE，由此可得，则AD2=AEAB；同理可得AD2=AFAC，从而可得AEAB=AFAC，结合AB=AC即可得到AE=AF；

（2）由（1）可得∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，结合∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，可得∠AED=∠DFC，这样结合，可得△AED∽△CFD，由此可得∠ADE=∠CDF=∠B，则DF∥BE；由AE=AF，AB=AC可得∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，结合2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，可得∠AEF=∠B，从而可得EF∥BC；这样即可得到所求结论了.

试题解析：

（1）∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，

∴△BAD∽△DAE，

∴，

∴AD2=AEAB，

同法可证：AD2=AFAC，

∴AEAB=AFAC，∵AB=AC，

∴AE=AF；

（2）∵△BAD∽△DAE，

∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，

∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，

∴∠AED=∠DFC，

∵，

∴△AED∽△CFD，

∴∠ADE=∠CDF=∠B，

∴DF∥BE，

∵AE=AF，AB=AC，

∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，

∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，

∴∠AEF=∠B，

∴EF∥BC，

∴四边形EBDF是平行四边形．