Question

【题目】图①是一张∠AOB＝45°的纸片折叠后的图形，P、Q分别是边OA、OB上的点，且OP＝2 cm．将∠AOB沿PQ折叠，点O落在纸片所在平面内的C处．

（1）①当PC∥QB时，OQ＝ cm；

②在OB上找一点Q，使PC⊥QB（尺规作图，保留作图痕迹）；

（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长．

Answer 1

【答案】（1）2；见解析（2）当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ

【解析】分析：（1）①证明四边形，即可得OQ=OP=2cm；②分点C、P在BQ同侧和异侧两种情况作图即可；（3）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；点C在∠AOB的内部或一边上时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长；点C在∠AOB的外部时，同理求出OQ的长即可．

详解：

（1）①当PC∥QB时，∠O=∠CPA，

由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP，

∴∠CPA=∠C，

∴OP∥QC，

∴四边形OPCQ是平行四边形，

∴四边形OPCQ是菱形，

∴OQ=OP=2cm；

故答案为：2cm；

② 分点C、P在BQ同侧和异侧两种情况，画对一种就给全分；

（2）当点C在∠AOB的内部或一边上时，则重叠部分即为△CPQ．

因为△CPQ是由△OPQ折叠得到，所以当△OPQ为等腰三角形时，重叠部分必为等腰三角形．

如图1、2、3三种情况：

当点C在∠AOB的外部时，

当点C在射线OB的上方时（如图4）， 当点C在射线OA的下方时（如图5），

OQ＝－ (cm)

OQ＝＋ (cm)