Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求B、C两点的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）抛物线在第二象限内是否存在一点Q，使△QBC的面积最大？，若存在，求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

当y=0时，即﹣x2﹣2x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

当x=0时，y=3，

∴B（﹣3，0）、C（0，3）

（2）

解：存在；

如图1，∵抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，

∴抛物线的对称轴x=﹣1，C（0，3）

∴C′（﹣2，3），

设直线AC′的解析式为：y=kx+b，

∵A（1，0），

∴ 解得 ，

∴直线AC′的解析式为：y=﹣x+1，

把x=﹣1代入直线AC′的解析式y=﹣x+1，得y=2，

∴P（﹣1，2）

（3）

解：存在；

如图2，设Q（m，﹣m2﹣2m+3），过Q作QP⊥x轴于P，

∴OP=﹣m，PQ=﹣m2﹣2m+3，BP=3+m，

∴S△PBQ= BPPQ= （3+m）（﹣m2﹣2m+3），S四边形QPOC= （OC+PQ）OP= （3﹣m2﹣2m+3）（﹣m），S△BOC= OBOC= ×3×3= ，

∴S△PBC=S△PBQ+S四边形QPOC﹣S△BOC=﹣ m2﹣ m，

即S△PBC=﹣ m2﹣ m=﹣ （m+ ）2+ ，

∴当m=﹣ 时，△QBC的面积最大，最大值为 ；

∴Q（﹣ ， ）．

【解析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标与系数的关系即可求得；（2）根据轴对称的性质先找出C的对称点C′，然后连接AC′即可找到P点，最后根据A、C′的坐标求得直线AC′的解析式，即可求得P的坐标；（3）根据S△QBC=S△QBP+S四边形QPOC﹣S△BOC即可求得解析式，根据解析式即可求得求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．