Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）+=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积．

（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=2S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；

（3）点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在直线BD上移动时（不与B，D重合）直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足 的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）C（1，0），D（2，0）,S四边形ABDC＝6；(2) M（0，8）或（0，8）；(3) ①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP＋∠BAP②当点P在DB的延长线上时，∠DOP＝∠BAP＋∠APO；③当点P在BD的延长线上时，∠BAP＝∠DOP＋∠APO．

【解析】

（1）先由非负数性质求出a＝2，b＝4，再根据平移规律，得出点C，D的坐标，然后根据四边形ABDC的面积＝AB×OA即可求解；

（2）存在．设M坐标为（0，m），根据S△PAB＝S四边形ABDC，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标；

（3）分三种情况讨论，过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质即可求解．

（1）∵（a﹣2）+=0，

∴a﹣2=0，b-3=0

∴a＝2，b＝3，

∴A（0，2），B（3，2），AB=3,OA=2

∵点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，

∴C（1，0），D（2，0）,CD=3

∴S四边形ABDC＝AB×OA＝3×2＝6；

（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD＝S四边形ABCD．设M坐标为（0，m）．

∵S△MCD＝2S四边形ABDC，

∴×3|m|＝12，

∴|m|＝8，

解得m＝±8．

∴M（0，8）或（0，8）；

（3）①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP＋∠BAP

理由如下：

过点P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，

∴PE∥CD∥AB，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP＋∠DOP＝∠APE＋∠OPE＝∠APO，

②当点P在DB的延长线上时，∠DOP＝∠BAP＋∠APO；

理由如下：

过点P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，

∴PE∥CD∥AB，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP＋∠APO＝∠APE＋∠APO＝∠OPE =∠DOP，

③当点P在BD的延长线上时，∠BAP＝∠DOP＋∠APO．

理由如下：

过点P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，

∴PE∥CD∥AB，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠DOP＋∠APO＝∠OPE＋∠APO＝∠APE =∠BAP．