Question

【题目】在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：

（1）如图1，若∠DAC=∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF=∠AFE；

（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，若∠P=26°，猜想∠CFD的度数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠CFD=64°，理由见解析.

【解析】

（1）利用角平分线的定义可得出∠ECB=∠ACE，结合∠B=∠FAC可得出∠B+∠ECB=∠FAC+∠ACE，由三角形外角的性质可得出∠AEF=∠B+∠ECB，∠AFE=∠FAC+∠ACE，进而可得出∠AEF=∠AFE；

（2）由∠ACE=∠ACB，∠ACP=∠ACQ，可得出∠ECP=90°，进而可得出∠P+∠AEC=90°，结合（1）的结论及对顶角相等可得出∠P+∠CFD=90°，代入∠P=26°即可求出∠CFD的度数．

解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB=∠ACE，

∵∠B=∠FAC，

∴∠B+∠ECB=∠FAC+∠ACE．

又∵∠AEF=∠B+∠ECB，∠AFE=∠FAC+∠ACE，

∴∠AEF=∠AFE．

（2）∠CFD=64°，理由如下：

∵∠ACE=∠ACB，∠ACP=∠ACQ，

∴∠ECP=∠ACE+∠ACP=（∠ACB+∠ACQ）=90°，

∴∠P+∠AEC=90°．

∵∠AEF=∠AFE=∠CFD，

∴∠P+∠CFD=90°．

∵∠P=26°，

∴∠CFD=64°．