Question

【题目】（1）如图，在正方形 ABCD 中，∠FAG=45°，请直接写出 DG，BF 与FG 的数量关系，不需要证明．

（2）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F 分别是 BC 上两点，∠EAF=45°，

①写出 BE，CF，EF 之间的数量关系，并证明．

②若将（2）中的△AEF 绕点 A 旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？ 若不成立，直接写出新的结论 ，无需证明．

（3）如图，△AEF 中∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G，且GF=2，GE=3，则 = ．

Answer 1

【答案】（1）FG=BF+DG；（2）①EF2=BE2+FC2，理由见解析；②仍然成立；（3）15

【解析】

（1）把△AGD绕点A逆时针旋转90°至△ABP，可使AD与AB重合，再证明△AFG≌△AFP进而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；

（2）①根据△AFC绕点A顺时针旋转90°得到△AGB，根据旋转的性质，可知△ACF≌△ABG得到BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG，∠FAC=∠GAB，根据Rt△ABC中的AB=AC得到∠GBE=90°，所以GB2+BE2=GE2，证△AGE≌△AFE，利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2；

②将△ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点是G，同上的方法证得GC2+CF2=FG2，再设法利用SAS证得△AFG≌△AFE即可求解；

（3）将△AEG沿AE对折成△AEB，将△AFG沿AF对折成△AFD，延长BE、DF相交于C，构成正方形ABCD，在Rt△EFC中，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得AG的长，从而求得答案．

（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠ADC=∠ABC=90°，
∴把△AGD绕点A逆时针旋转90°至△ABP，使AD与AB重合，

∴∠BAP=∠DAG，AP= AG，
∵∠BAD=90°，∠FAG=45°，
∴∠BAF+∠DAG=45°，
∴∠PAF=∠FAG=45°，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠FBP=180°，点F、B、P共线，
在△AFG和△AFP中，

，
∴△AFG≌△AFP（SAS），
∴PF=FG，
即：FG=BF+DG；

（2）①FC2+BE2=EF2，证明如下：

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠C=∠ABC=45°，

将△AFC绕点A顺时针旋转90°得到△AGB，

∴△ACF≌△ABG，

∴BG=FC，AG=AF，∠C=∠ABG=45°，∠FAC=∠GAB，

∴∠GBE=∠ABG +∠ABC =90°，

∴GB2+BE2=GE2，

又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠GAB+∠BAE=45°，
即∠GAE=45°，
在△AGE和△AFE中，

，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE=EF，

∴FC2+BE2=EF2；

②仍然成立，理由如下：

如图，将△ABE绕点A逆时针旋转使得AB与AD重合，点E的对应点为点G，

∴△ACG≌△ABE，

∴CG=BE，AG=AE，∠ACG=∠ABE=45°，∠BAE=∠CAG，

∴∠GCB=∠ACB +∠ACG =90°，即∠GCF=90°，

∴GC2+CF2=FG2，

∵∠BAE+∠EAC=∠BAC=90°，

∴∠CAG+∠EAC=90°，

又∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
在△AFG和△AFE中，

，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，

∴FC2+BE2=EF2；

（3）将△AEG沿AE对折成△AEB，将△AFG沿AF对折成△AFD，延长BE、DF相交于C，

∴△AEG△AEB，△AFG△AFD，

∴AB=AG=AD，BE=EG=3，DF=FG=2，∠EAG=∠EAB，∠FAG=∠FAD，∠B=∠D=90°，

∵∠EAF=45°，
∴∠EAB+∠FAD=∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为正方形，

设AG =，则AB=BC=CD=，

在Rt△EFC中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=，FC=CD-DF=，

∴，

故，
解得：（舍去），，
∴AG=6，
∴．

故答案为：15．