Question

【题目】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连结EG、CG．
（1）请添加一条辅助线，构造一个和△FEG全等的三角形，并证明它们全等．
（2）探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．

Answer 1

【答案】解：（1）延长EG交CD于点H，如图，则△DHG≌△FEG．证明如下：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵点G为DF的中点，
∴DG=FG，
在△DHG和△FEG中，
，
∴△DHG≌△FEG（ASA）；
（2）EG=CG，EG⊥CG．证明如下：
∵△DHG≌△FEG，
∴EF=DH，EG=HG，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD﹣DH=CB﹣BE，即CH=CE，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∵EG=GH，
∴CG⊥EH，CG=EG=GH，
即EG=CG，EG⊥CG．

【解析】（1）延长EG交CD于点H，如图，先证明EF∥CD，则∠1=∠2，再由点G为DF的中点得到DG=FG，然后利用“ASA”判断△DHG≌△FEG；
（2）由△DHG≌△FEG得到EF=DH，EG=HG，而BE=EF，所以BE=DH，根据正方形的性质得CB=CD，则CH=CE，于是可判断△CHE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到CG⊥EH，CG=EG=GH，即EG=CG，EG⊥CG．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．