【题目】用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．

(1)第4个图案中，三角形的个数有________个，六边形的个数有________个；

(2)第n(n为正整数)个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？

(3)第2017个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？

(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由．

参考答案：

【答案】(1)10，4；

(2)三角形的个数为 (2n＋2)个，六边形的个数为n；

(3)三角形的个数为4036个，六边形的个数为2017个；

(4)不存在．理由见解析．

【解析】试题分析：观察图案可知：第一个图案有正三角形4个为2×2．第二图案比第一个图案多2个为2×2+2=6个，第三个图案比第二个多2个为2×3+2=8个，那么第n个就有正三角形（2n+2）个；第一个图案有一个正六边形，第二个图案有2个正六边形，依此类推可知第n个图形有n个正六边形，据此即可解答.

试题解析：(1)10，4；

(2)观察发现，第1个图案中有4个三角形与1个六边形，以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形，则第n个图案中三角形的个数为4＋2(n－1)＝(2n＋2)个，六边形的个数为n；

(3)第2017个图案中，三角形的个数为2×2017＋2＝4036(个)，六边形的个数为2017个；

(4)不存在．理由如下：假设存在这样的一个图案，其中有30个六边形，则这个图案是第30个图案，而第30个图案中三角形的个数为2×30＋2＝62≠100，所以这样的图案不存在．

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