Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，现将一个足够大的直角三角形的顶点P放在斜边AC上．

（1）设三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N．

①当点P是AC的中点时，分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，得到图1，写出图中的一对全等三角形；

②在①的条件下，写出与△PEM相似的三角形，并直接写出PN与PM的数量关系．

（2）移动点P，使AP=2CP，将三角板绕点P旋转，设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB，BC于点M，N（PM不与边AB垂直，PN不与边BC垂直）；或者三角板的两直角边分别交边AB，BC的延长线于点M，N．

①请在备用图中画出图形，判断PM与PN的数量关系，并选择其中一种图形证明你的结论；

②在①的条件下，当△PCN是等腰三角形时，若BC=3cm，则线段BN的长是 ．

Answer 1

【答案】（1）①△AEP≌△PFC，理由见解析；②△PFN∽△PEM，PN=PM；（2）①PM=2PN，②1cm或5cm.

【解析】

试题分析：（1）①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根据AAS推出两三角形全等即可；②根据已知条件得到AB=BC，求出PE=BC，PF=AB，根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，根据相似三角形的性质得到，即可得出答案．

（2）①根据相似三角形的性质得到=2，设CF=x，则PE=2x，求出PF=x，根据相似三角形的性质即可得到结论；②求出CP=2cm，分为两种情况：第一种情况：当N在线段BC上时，得出△PCN是等边三角形，求出CN=CP=2cm，即可得到结论；第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，求出CN=PC=2cm，即可得到结论．

试题解析：（1）①△AEP≌△PFC，

理由是：∵P为AC中点，

∴AP=PC，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，

∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，

∴PF∥AB，PE∥BC，

∴∠APE=∠C=60°，

在△AEP和△PFC中

∴△AEP≌△PFC（AAS）；

②△PFN∽△PEM，PN=PM，

理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，

∴AB=BC，

∵PE∥BC，PF∥AB，P为AC中点，

∴E为AB中点，F为BC中点，

∴PE=BC，PF=AB，

∴，

∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，

∴∠EPF=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，

∵∠PEM=∠PFN=90°，

∴△PFN∽△PEM，

∴，

∴PN=PM．

（2）①PM=2PN，如图1，

证明：过P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，

∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，

∴PE∥BC，

∴∠APE=∠C，

∴△AEP∽∠PFC，

∴，

设CF=x，则PE=2x，

在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，

∴PF=x，

∵在四边形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，

∴∠EPF=90°，

即∠EPM+∠MPF=90°，

∵∠NPF+∠MPF=90°，

∴∠NPF=∠EPM，

∵∠MEP=∠PFN=90°，

∴△PEM∽△PFN，

∴，

∴PM=PN；

②∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=3cm，

∴AC=2BC=6cm，

∵AP=2PC，

∴CP=2cm，

分为两种情况：第一种情况：当N在线段BC上时，如图2，

∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=2cm，

∴△PCN是等边三角形，

∴CN=CP=2cm，

∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm；

第二种情况：当N在线段BC的延长线上时，如图3，

∵∠PCN=180°-60°=120°，

∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，

即CN=PC=2cm，

∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm，

即BN的长是1cm或5cm，