Question

【题目】如图，已知抛物线y=-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+x+4，x=3；（2）△AOC∽△COB．（3）4；（4）点Q的坐标为（3，4+）或（3，4-）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．

【解析】

试题分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；

（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；

（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．

试题解析：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=-x2+bx+4上，

∴-×64+8b+4=0，

解得b=，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4，

对称轴为直线x=-=3；

（2）△AOC∽△COB．

理由如下：令y=0，则-x2+x+4=0，

即x2-6x-16=0，

解得x1=-2，x2=8，

∴点A的坐标为（-2，0），

令x=0，则y=4，

∴点C的坐标为（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∵=2，∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，

则，

解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+4，

∵MN∥y轴，

∴MN=-x2+x+4-（-x+4），

=-x2+x+4+x-4，

=-x2+2x，

=-（x-4）2+4，

∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；

（4）由勾股定理得，AC=，

过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，

①AC=CQ时，DQ==，

点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，

此时点Q1（3，4+），

点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-，

此时点Q2（3，4-），

②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，

CQ==5，

∴AQ=CQ，

此时，点Q3（3，0），

③当AC=AQ时，∵AC=，点A到对称轴的距离为5，＜5，∴这种情形不存在．

综上所述，点Q的坐标为（3，4+）或（3，4-）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．