Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=ABAD．我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．

（1）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；
（2）如图3，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，则求∠DAB的度数；
（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，则△DAB的最大面积等于 ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°，

∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，

∴∠D=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD，

∴四边形ABCD为“可分四边形”

（2）

解：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC，

∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°，

∴∠DAC+2∠DAC=180°，

解得：∠DAC=60°，

∴∠DAB=120°

（3）8
【解析】（3）∵四边形ABCD为“可分四边形”，AC=4，
∴ABAD=AC2=16，
当DA⊥DB时，△DAB的最大，最大面积为8，
故答案为：8．
（1）由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形内角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，证明△ADC∽△ACB．得出对应边成比例，得出AC2=ABAD，即可得出结论；（2）由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠ACB，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠DAC+2∠DAC=180°，求出∠DA=60°，即可得出∠DAB的度数；（3）根据“可分四边形”的定义求出ABAD，计算即可．