Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点R（1，0），点K（4，4），直线y＝－ x＋b过点K ， 分别交x轴、y轴于U、V两点，以点R为圆心， RK为半径作⊙R ， ⊙R交x轴于A.

（1）若二次函数的图象经过点A、B（－2，0）、C（0，－8），求二次函数的解析式；
（2）判断直线UV与⊙R的位置关系，并说明理由；
（3）若动点P、Q同时从A点都以相同的速度分别沿AB、AC边运动，当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E ， 使得以A、E、Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出E点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

由K（4,4），R（1,0），

则RK=，

则OA＝6，∴A（6，0），

设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－6)，

把C（0，－8）代入得－8＝a(0＋2)(0－6)，

解得a＝

∴y＝ (x＋2)(x－6)＝ x2－ x－8

（2）

直线UV与⊙R相切

理由如下：

∵点K（4，4），直线y＝－x＋b过点K，∴b＝7

对于y＝－x＋7，当x＝0时，y＝7；当y＝0时，x＝

∴U（，0），V（0，7），∴OU＝，OV＝7

连接RK，过K作KH⊥x轴于H

则RH＝3，UH＝－4＝，KH＝4

∴ ＝ ＝，

又∠RHK＝∠KHU＝90°，∴△RKH∽△KUH

∴∠KRH＝∠UKH

∵∠RKH＋∠KRH＝90°，∴∠RKH＋∠UKH＝90°

即RK⊥UV

∴直线UV与⊙R相切

（3）

存在

分三种情况讨论：

①若EQ＝EA，作EG⊥AQ于G

则AG＝GQ＝AQ＝AB＝4

∵∠EAG＝∠CAO，∠AGE＝∠AOC＝90°

∴△EAG∽△CAO，∴＝

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∴ ＝ ，∴AE＝ ，∴OE＝ －6＝

∴E1（－ ，0），

②若AE＝AQ＝8，则E2（－2，0），E3（14，0）

③QE＝QA，作QH⊥x轴于H，则QH∥y轴

∴＝，∴ ＝

∴AH＝ ，∴EH＝AH＝ ，OH＝6－ ＝ ，∴EO＝ － ＝

∴E4（－ ，0）

综上，满足条件的E点有四个，E1（－ ，0），E2（－2，0），E3（14，0），E4（－ ，0）

【解析】（1）要求抛物线解析式，先要求出点A的坐标，由OA=OR+RA，而RA是⊙R的半径，由R（1,0），K（4,4）可求出半径的长，从而可求得OA，即A的坐标，由A，B，是抛物线与x轴的交点，则可设两点式y=a（x+2）(x-6)，再代入C的坐标，即可求出a的值；
（2）连接RK，则需证RK⊥UV ， 可先根据点K（4，4），直线y＝－x＋b过点K ， 求出点b值，再求出U，V的坐标；不能直接运用勾股定理证明△RKU是直角三角形，则可过K作KH⊥x轴于H ， 证明 ＝ ＝ ， 又∠RHK＝∠KHU＝90°，则△RKH∽△KUH ， 根据角的直角三角形的两个锐角和为90度，即可转换得到∠RKH＋∠UKH＝90°；
（3）此题需作分类讨论：①若EQ＝EA ， 作EG⊥AQ于G ， 通过证明△EAG∽△CAO ， 由相应边成比例＝代入相应数据即可解出AE，则可得E的坐标；②若AE＝AQ＝8，由A的坐标直接可写出E的坐标；③若QE＝QA ， 根据相似构造平行线作QH⊥x轴于H ， 则QH∥y轴，则由平行线分线段成比例可得＝，代入相应数据求出AH，则可求出点E的坐标.