Question

【题目】综合题
（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；

（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；

（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AG，

∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，

∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，

∴A，G，C共线，AB﹣AE=AD﹣AH，

∴HD=BE，

∵AG= = AE，AC= = AB，

∴GC=AC﹣AG= AB﹣ AE= （AB﹣AE）= BE，

∴HD：GC：EB=1： ：1；

（2）解：连接AG、AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，

∴AD：AC=AH：AG=1： ，∠DAC=∠HAG=45°，

∴∠DAH=∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=1： ，

∵∠DAB=∠HAE=90°，

∴∠DAH=∠BAE，

在△DAH和△BAE中，

，

∴△DAH≌△BAE（SAS），

∴HD=EB，

∴HD：GC：EB=1： ：1；

（3）解：有变化，

连接AG、AC，

DA：AB=HA：AE=m：n，

∵∠ADC=∠AHG=90°，

∴△ADC∽△AHG，

∴AD：AC=AH：AG=m： ，∠DAC=∠HAG，

∴∠DAH=∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=m： ，

∵∠DAB=∠HAE=90°，

∴∠DAH=∠BAE，

∵DA：AB=HA：AE=m：n，

∴△ADH∽△ABE，

∴DH：BE=AD：AB=m：n，

∴HD：GC：EB=m： ：n．

【解析】（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；
（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与全等三角形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；
（3）连接AG、AC， 由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值

【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．