Question

【题目】如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE=DF，∠AEF=∠CFB.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）已知AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，由∠AEF=∠CFB，根据平角的定义可得∠AEB=∠CFD，利用ASA证得△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得AB=CD，由AB∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形；（2）平行四边形AECF是矩形，根据平行四边形的性质可得OB=OD ，OA=OC=AC，由BE=DF证得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可判定四边形AECF是平行四边形，再证得AC=EF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定平行四边形AECF是矩形．

试题解析：

(1)证明：∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

又∵∠AEF=∠CFB，

∴∠AEB=∠CFD，

又∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF(ASA)，

∴AB=CD，

又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

(2) 平行四边形AECF是矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD ，OA=OC=AC，

∵BE=DF，

∴OB﹣BE=DO﹣DF，

∴OE=OF，

又∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AC=2OE，EF=2OE，

∴AC=EF，

∴平行四边形AECF是矩形.