Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点和A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线BC段上一点，PD⊥BC，PE∥y轴，分别交BC于点D、E．当DE= 时，求点P的坐标；
（3）M是平面内一点，将符合（2）条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后，点P，D，E的对应点分别是P′、D′、E′．设P′E′的中点为N，当抛物线同时经过D′与N时，求出D′的横坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y=a（x+1）（x﹣4），把C（0，2）代入解得a=

∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2．

（2）解：如图1所示：延长PE交x轴与点F．

∵OC=2，OB=4，

∴BC= =2 ．

∵PD⊥BC，CO⊥OB，

∴∠COB=∠PDE=90°．

∵∠PDE=∠EFB，∠PED=∠FEB，

∴∠DPE=∠CBO．

∴△PDE∽△BOC．

∴ = ，即 = ，解得PE=2．

设BC的解析式为y=kx+2，将点B的坐标代入得：4k+2=0，解得：k=﹣ ．

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+2．

设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+2），则E（x，﹣ x+2）．

∴﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）=2，解得x1=x2=2．

∴点P的坐标为（2，3）．

（3）解：旋转后的图形如图2所示：过点D′作D′H⊥P′E′，垂足为H．

∵∠P'D'E'=90°，N是斜边P'E'的中点，

∴D′B= P′E′=1．

∵ P′D′E′D′= P′E′HD′，

∴D′H= = = ．

∴HP′= ．

∴HN=P′H﹣P′N= ．

设D′（x，﹣ x2+ x+2），则N（x﹣ ，﹣ x2+ x+2+ ），

把N点坐标代入抛物线得﹣ x2+ x+2+ =﹣ （x﹣ ）2+ （x﹣ ）+2，解得：x= ．

∴点D′的横坐标为 ．

【解析】（1）由题意可设此二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），把C点的坐标代入可求得；
（2）易求出BC的长，再证△PDE∽△BOC，利用对应边成比例可求得PE的长，利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而设出P、E的坐标，进而求出答案；
（3）根据题意画出图形，再过点D′作D′H⊥P′E′，利用直角三角形的性质可得BD′，由三角形的面积公式可求得HD′，进而求得HN的值，设D′，可得N点的坐标，把N点的坐标代入抛物线可求得x的值，即可得答案.
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的判定与性质，需要了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．