Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且 OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 ．

Answer 1

【答案】
（1）∵∠BOC+∠AOC=180°,∠BOC=120°∴∠AOC=60°。∵OM平分∠BOC,∴∠COM=∠BOC=120°=60°,∵∠AOM=∠AOC+∠COM,∴∠AOM=60°+60°=120°答案：120
（2）解：如图3，

∵∠BOC=120°，

∴∠A0C=60°，∠AOM转化成∠MON-∠AON，∠NOC转化成∠AOC-∠AON，

∵∠AON=90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC，

∴∠AOM﹣∠NOC=30°

（3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒,∵∠BOC=120°,∴∠AOC=60°,当逆时针旋转60°或逆时针旋转240°时 ON平分∠AOC,于是可列10x=60或10x=240,∴x=6或x=24,即此时三角板绕点O旋转的时间是6秒或24秒．故答案为：6秒或24秒
【解析】（1）根据OM恰好平分∠BOC，求出∠COM的度数，再根据∠BOC与∠AOC互为邻补角，求出∠AOC的度数，然后根据∠AOM=∠AOC+∠COM，即可求出结果。
（2）先根据∠BOC与∠AOC互为邻补角，求出∠AOC的度数，再根据已知可知∠MON=90°，∠AON=90°-∠AOM，∠AON=60°-∠NOC，然后建立方程，变形即可得出结论。
（3）根据∠AOC=60°，可知当逆时针旋转60°或逆时针旋转240°时 ON平分∠AOC，设未知数建立方程，求解即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解角的平分线(从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线)，还要掌握角的运算(角之间可以进行加减运算；一个角可以用其他角的和或差来表示)的相关知识才是答题的关键．