Question

【题目】已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．

（1）求△AED的周长；

（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；

（2）在△AED向右平移的过程中：

（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；

（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；

（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．

（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=6．

在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，

∴AE=ADcos30°=3，DE=ADsin30°=3，

∴△AED的周长为：6+3+3=9+3．

（2）在△AED向右平移的过程中：

（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．

∵DD0=2t，∴ND0=DD0sin30°=t，NK=ND0÷tan30°=t，

∴S=S△D0NK=ND0NK=tt=t2；

（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t，

∴A0N=A0B=6﹣t，NK=A0Ntan30°=（6﹣t）．

∴S==×3×3﹣×（6﹣t）×（6﹣t）=t2+t﹣；

（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t=D0C，

∴A0N=A0B=6﹣t，D0N=6﹣（6﹣t）=t，BN=A0Bcos30°=（6﹣t）；

易知CI=BJ=A0B=D0C=12﹣2t，∴BI=BC﹣CI=2t﹣6，

S=S梯形BND0I﹣S△BKJ= [t+（2t﹣6）]·（6﹣t）﹣·（12﹣2t）（12﹣2t）=t2+t﹣．

综上所述，S与t之间的函数关系式为：

．

（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．

理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，

故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．

（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，

即∠BCB1=30°，

∴α=30°；

（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，

若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，

即∠BCB1=75°，

∴α=75°；

若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），

∵∠CB1E1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°，

即∠BCB1=180°﹣∠B1CQ=180°﹣15°=165°，

∴α=165°．

③当PQ=PB时（如答图7），则CQ=CB1，

∵CB=CB1，

∴CQ=CB1=CB，

又∵点Q在直线CB上，0°＜α＜180°，

∴点Q与点B重合，

此时B、P、Q三点不能构成三角形．

综上所述，存在α=30，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．