Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=2 ，求平行四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴∠FAD=∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD=∠FAB．

∴∠AFB=∠FAB．

∴AB=BF，

∴BF=CD

（2）解：∵由（1）知：AB=BF，

又∵∠BFA=60°，

∴△ABF为等边三角形，

∴AF=BF=AB，∠ABE=60°，

∵BE⊥AF，

∴点E是AF的中点．

∵在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE= ，

∴EF=2，BF=4，

∴AB=BF=4，

∵四边形BACD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°=∠F，

∴CE=EF，

∴△ECF是等边三角形，

∴CE=EF=CF=2，

∴BC=4﹣2=2，

∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4=12

【解析】（1.）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案； （2.）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABE=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE= ，解直角三角形求出EF=2，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=2，即可得出答案．