Question

【题目】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数就为“奇巧数，如，因此这三个数都是奇巧数。

都是奇巧数吗？为什么？

设这两个连续偶数为（其中为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是的倍数吗？为什么？

研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证。

Answer 1

【答案】（1）52是奇巧数，72不是奇巧数；（2）不是8的倍数，理由见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）判断52与72是否能写成两个连续偶数的平方差即可；

（2）先计算2n+2与2n的平方差，再进行判断即可；

（3）取四个连续的偶数2n，2n+2，2n+4，2n+6（n为正整数），可得三个连续的奇巧数，再作差比较即得结果.

解：（1），，因为52是两个连续偶数的平方差，所以52是奇巧数，而72是两个连续奇数的平方差，不是两个连续偶数的平方差，所以72不是奇巧数；

（2）由2n，2n+2构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下：

，

因为n为正整数，所以2n+1是奇数，所以奇巧数4(2n+1)是4的倍数，不是8的倍数；

（3）验证：12,20与20,28都是连续的奇巧数，它们的差都是8，是同一个数.

一般的，设四个连续的偶数为：2n，2n+2，2n+4，2n+6（n为正整数），则

，

，

，

所以8n+4，8n+12，8n+20是三个连续的奇巧数，

且，，

所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，这个数是8.