Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DC；③DB=DE;④∠BDE=∠BCA．其中正确结论的个数为（ 　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，得出②正确；再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB，根据等角对等边可得BD=DE，判断③正确；再求出B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE=∠BCA，判断④正确．

详解：∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，

∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正确；

如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，

∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线， ∴AD为∠BAC的平分线，

∴DF=DG， ∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°， 又∵∠BDC=120°，

∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°， ∴∠BDF=∠CDG，

∴△BDF≌△CDG（ASA）， ∴DB=CD，故②正确；

∴∠DBC=（180°-120°）=30°， ∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，

∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，

根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE，故③正确；

∵DB=DE=DC， ∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，

∴∠BDE=2∠BCE=∠BCA，故④正确；故选D．