Question

【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

（1）【特例探索】
如图1，当∠ABE=45°，c=2 时，a= ， b=；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ， b=；
（2）【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，猜想a2 ， b2 ， c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
（3）【拓展应用】
如图4，在ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2 ，AB=3．求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2 ；2 ；2
（2）

猜想：a 2，b2，c2三者之间的关系是：a2+b2=5c2，

证明：如图3，连接EF，

∵AF，BE是△ABC的中线，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AB．且 EF= AB= c．

∴

设 PF=m，PE=n 则AP=2m，PB=2n，

在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2=c2①

在Rt△APE中，（2m）2+n2=（ ）2②

在Rt△BPF中，m2+（2n）2=（ ）2③

由①得：m2+n2= ，由②+③得：5（ m2+n2）= ，

∴a 2+b2=5 c2；

（3）

如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，

∵点E、G分别是AD，CD的中点，

∴EG∥AC，

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=2 ，

∴∠EAH=∠FCH，

∵E，F分别是AD，BC的中点，

∴AE= AD，BF= BC，

∴AE=BF=CF= AD= ，

∵AE∥BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴EF=AB=3，AP=PF，

在△AEH和△CFH中， ，

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH，

∴EP，AH分别是△AFE的中线，

由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，

∴AF2=5（ ）2﹣EF2=16，

∴AF=4．

【解析】解：（1.）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP= AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF= AB= ，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF= = ，
∴AC=BC=2 ，
∴a=b=2 ，
如图2，连接EF，

同理可得：EF= ×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴ ，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2 ，
∴PF=1，PE= ，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE= ，BF= ，
∴a=2 ，b=2 ，
所以答案是：2 ，2 ，2 ，2 ；
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的“三线”的相关知识，掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．