Question

【题目】已知f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2ax﹣ x2 ， 其中a∈R．
（1）若a=0，且曲线f（x）在x=t处的切线l过原点，求直线l的方程；
（2）求f（x）的极值；
（3）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），证明f（x1）+f（x2）＜ a2+3a．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时， ，f'（x）=2xlnx，所以切线I的斜率k=f'（t）=2tlnt，又直线I过原点，所以k=tlnt﹣ t，

，由2tlnt=tlnt﹣ t，得lnt=﹣ ，t= ．所以k=f'（﹣ ）=﹣ ，故切线I的方程为y=﹣

（2）解：由f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2ax﹣ x2，可得f'（x）=（2x﹣2a）lnx，

①当a≤0时f'（x）＞0得x＞1，f'（x）＜0得0＜x＜1，

f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，f（x）在x=1时取到极小值，且f（1）=2a﹣ ，f（x）没有极大值．

②当0＜a＜1时，f'（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，f'（x）＜0得a＜x＜1．f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减，

f（x）在x=a时取到极大值，且f（a）=﹣a2lna+ ，f（x）在x=1时取到极小值，且f（1）=2a﹣ ；

③当a=1时f'（x）≥0恒成立恒成立，f（x）在R上单调递增，f（x）没有极大值也没有极小值；

④当a＞1时f'（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，f'（x）＜0得1＜x＜a，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减，f（x）在x=a时取到极小值，且f（a）=﹣a2lna+ ，．f（x）在x=1时取到极大值，且f（1）=2a﹣ ；

综上可得，当a≤0时，f（x）在x=1时取到极小值2a﹣ ，f（x）没有极大值；

当0＜a＜1时，f（x）在x=a时取到极大值﹣a2lna+ ，在x=1时取到极小值2a﹣ ；

当a=1时，f（x）没有极大值也没有极小值；

当a＞1时，f（x）在x=a时取到极小值 ，在x=1时取到极大值

（3）解：由（2）知当a＞0且a≠1时，f（x）有两个极值f（x）点x1，x2，且f（x1）+f（x2）=f（a）+f（1）， = ，

设 ，则 ，所以g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，由a＞0且a≠1可得g（a）＞g（1）=0，所以 ，即

【解析】（1）求出导函数，根据切线的和导函数的关系求解 即可；（2）求出导函数f'（x）=（2x﹣2a）lnx，对a进行分类讨论，在不同区间求出函数的单调性，进而判断函数的最值问题；（3）根据（2）可知a的范围，得出f（x1）+f（x2）=f（a）+f（1），作差放缩可得 = ，构造函数 ，利用导函数得出函数的单调性，得出g（a）＞g（1）=0，得出结论．