Question

【题目】已知椭圆C： 的焦距为2，点Q（ ，0）在直线l：x=3上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，P为直线l上一动点，过点P作直线与椭圆相切点于点A，求△POA面积S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：椭圆C： 的焦距为2，则2c=2，c=1，又点Q（ ，0）在直线l：x=3上，

∴a2=3，∴b2=a2﹣c2=2．

∴椭圆C的标准方程是

（2）

解：由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，设P（3，y0），A（x1，y1）．

由 ，整理得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由△=24（2+3k2﹣m2）=0，则2+3k2=m2，

x1=﹣ ，则y1= ，y0=kx+m．

由2+3k2=m2，则m=± ．

当m= ．时，△POA面积S△OPA= 丨k+ 丨，又 ，k+ ＞0，

∴S△OPA= （k+ ）．

令f（k）= （k+ ），k∈R，则f′（k）= （1+ ）= （ ），

由f′（k）=0，得k=﹣ ，f（k）在（﹣∞，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，+∞）单调递增，

∴f（k）min=f（﹣ ）= ．即当l的斜率为﹣ 时，△OPA面积S的最小值为 ．

同理当m=﹣ ．时，S△OPA= （﹣k+ ）．当l的斜率为 时，△OPA面积S的最小值为 ．

综上，△OPA面积S的最小值为

【解析】（1）由题意可知：c=1，由Q（ ，0）在直线l：x=3上．即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，△=0，即可求得A点坐标，根据三角形的面积公式，利用导数与函数单调性的关系，即可求得△POA面积S的最小值．