Question

【题目】一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，

∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=x=，

故点C（2，）

（2）

解：

①∵点D与点C关于x轴对称，

∴D（2，﹣，），

∴CD=3，

设A（m，m）（m＜2），

由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，

解得m=0，

∴A（0，0）．

由A（0，0）、D（2，﹣）得：

，

解得：a=，c=0．

∴y=x2﹣x；

②设A（m，m）（m＜2），

过点A作AE⊥CD于E，则AE=2﹣m，CE=﹣m，

AC===（2﹣m），

∵CD=AC，

∴CD=（2﹣m），

由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，

解得：m=﹣2或m=6（舍去），

∴m=﹣2，

∴A（﹣2，﹣），CD=5，

当a＞0时，则点D在点C下方，

∴D（2，﹣），

由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：

，

解得：，

∴y=x2﹣x﹣3；

当a＜0时，则点D在点C上方，

∴D（2，），

由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，

解得，

∴y=﹣x2+2x+．

【解析】（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=x的交点，即点C的坐标；
（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；
②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．