Question

【题目】问题探究：
（1）如图①，点M、N分别为四边形ABCD边AD、BC的中点，则四边形BNDM的面积与四边形ABCD的面积关系是 ．

（2）如图②，在四边形ABCD中，点M、N分别为AD、BC的中点，MB交AN于点P，MC交DN于点Q，若S△四边形MPNQ=10，则S△ABP+S△DCQ的值为多少？
（3）问题解决
在矩形ABCD中，AD=2，DC=4，点M、N为AB上两点，且满足BN=2AM=2MN，连接MC、MD．若点P为CD上任意一点，连接AP、NP，使得AP与DM交于点E，NP与MC交于点F，则四边形MEPF的面积是否存最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）S四边形BNDM= S四边形ABCD
（2）解：连接BD．

∵M、N是AD、BC中点，

∴S△ABM=S△BDM，S△BDN=S△CDN，（等底同高的两个三角形面积相等）

∴S四边形BMDN= S四边形ABCD．

同理，S四边形ANCM= S四边形ABCD．

∴S四边形ANCM+S四边形BMDN=S四边形ABCD，

∴S四边形MPNQ=S△ABP+S△CDQ=10；

（3）连接PM，

设DP=x，则PC=4﹣x，

∵AM∥DP，

∴ = ，

∴ = ，即 = ，

∵ = 且S△APM= AMAD=1，

∴S△MPE= ，

同理可得，S△MPF= ，

∴S= + =2﹣ ﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ，

当x=2时，上式等号成立，

∴S的最大值为： ．

【解析】解：（1）S四边形BNDM= S四边形ABCD，

理由：连接BD，

∵点M、N分别为四边形ABCD边AD、BC的中点，

∴S△BDM= S△ABD，S△BDN= S△BCD，

∴S四边形BNDM=S△BDM+S△BDN= （S△ABD+S△BCD）= S四边形ABCD，
（2）连接BD．

∵M、N是AD、BC中点，

∴S△ABM=S△BDM，S△BDN=S△CDN，（等底同高的两个三角形面积相等）

∴S四边形BMDN= S四边形ABCD．

同理，S四边形ANCM= S四边形ABCD．

∴S四边形ANCM+S四边形BMDN=S四边形ABCD，

∴S四边形MPNQ=S△ABP+S△CDQ=10；
（3）连接PM，

设DP=x，则PC=4﹣x，

∵AM∥DP，

∴ = ，

∴ = ，即 = ，

∵ = 且S△APM= AMAD=1，

∴S△MPE= ，

同理可得，S△MPF= ，

∴S= + =2﹣ ﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ，

当x=2时，上式等号成立，

∴S的最大值为： ．

所以答案是：（1）S四边形BNDM= S四边形ABCD；（2）10；（3）存在，最大值为.