Question

【题目】Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α.

(1)若点P在线段AB上，如图①所示，且∠α＝50°，则∠1＋∠2＝________°；

(2)若点P在边AB上运动，如图②所示，则∠α，∠1，∠2之间的关系为：____________；

(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图③所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由；

(4)若点P运动到△ABC形外，如图④所示，则∠α，∠1，∠2之间的关系为：____________．

Answer 1

【答案】(1)140;(2) 90°＋∠α.（3）90°＋∠2＋∠α.；（4）90°＋∠1－∠α.

【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；

（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；

（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．

试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，

∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1＋∠2＝140°，

故答案为：140；

（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，

∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.

故答案为：∠1＋∠2＝90°＋∠α.

（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，

设DP与BE的交点为M，

∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，

∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.

（4）如图④，

设PE与AC的交点为F，

∵∠PFD＝∠EFC，

∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，

∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，

∴∠2＝90°＋∠1－∠α.

故答案为：∠2＝90°＋∠1－∠α