Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.

（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为 ；

（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE=1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N.）

（3）当点E在直线AD上时，若AE=4，请直接写出BF的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理即可求出.

（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，证出，进而求得MF，BM的长，再利用勾股定理，即可求得.

（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.

（1）由勾股定理得：

（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，如图2所示：

则FM=AH，AM=FH

∵四边形CEFG是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，

又∵四边形是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH

又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ ∴FH=ED EH=CD=3

∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2

∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5

在Rt△BFM中，BF=

（3）分两种情况：

①当点E在边AD的左侧时，过点F作FM⊥BC交BC的反向延长线于点M，交DE于点N.如图3所示：

同（2）得：

∴EN=CD=3，FN=ED=7

∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1

∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10

在中

由勾股定理得：

②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：

同理得：

∴NF=DE=1，EN=CD=3

∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4

∴BM=CB+CM=3+4=7

在中

由勾股定理得：

故BF的长为