Question

【题目】已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若 ， ，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD．

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠ACB=90°，

∴BD是⊙O的切线．

（2）解：∵ ，

∴AB=4AC，

∵BC2=AB2﹣AC2，

∴15AC2=80，

∴AC= ，

∴AB=4 ．

设⊙O的半径为r，

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴

∴ ，解得：r=

∴πr2=π（ ）2= ，

∴⊙O的面积为 ．

【解析】（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC= ，AB=4 ．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出 ，代入求出r即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对切线的判定定理的理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．