Question

【题目】海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= ．
（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，

∴cosD= ，

∴CE=40（海里），CD=50（海里）．

∵B点是CD的中点，

∴BE= CD=25（海里）

∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．

答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．

（2）解：设BF=x海里．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，

∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．

在Rt△CFE中，∠CFE=90°，

∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600．

解得x=7．

∴sin∠BCF= ．

【解析】（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解；（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2 ． 在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．